SeriesNote

一些概念和性质

常项级数的审敛法

【例题】判断级数敛散性 $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^4+4n^2}$

【解 1】 由于 $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\frac{2n+1}{n^4+4n^2}}{1/n^3}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{2n^4+n^3}{n^4+4n^2}=2$ ，而 $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ 收敛，故原级数收敛。

【解 2】 由于 $\frac{2n+1}{n^4+4n^2}<\frac{2n+n}{n^4}=\frac{3}{n^3}$ ，而 $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{n^3}$ 是收敛的 p 级数，故原级数收敛。

【例题】判断级数敛散性 $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln^{10}n}$

【解】 令 $u_n=\frac{1}{\ln^{10}n}$ ，$v_n=\frac{1}{n}$ ，由于 $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{u_n}{v_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n}{\ln^{10}n}$ ，而：

$$\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{\ln^{10}x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{10\cdot \ln^{9}x\cdot \frac{1}{x}}=\cdots =\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{10!}=+\infty$$

因此根据海涅定理可知，$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{u_n}{v_n}=+\infty$ ，故原级数发散。

幂级数

【例题】 求幂级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$ 的收敛域及和函数.

【解】 第一问过程略。该幂级数的收敛域为 $[-1,1]$ .

设幂级数的和函数为 $S(x)$ ，即 $S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$ ，对幂级数逐项微分，有：

$$\begin{aligned} S'(x) & = \sum\limits_{n=1}^\infty [(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}]'=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}x^{2n-2} \\ & = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}=\sum\limits_{n=0}^\infty (-x^2)^n=\frac{1}{1+x^2} \\ \end{aligned}$$

上式两边从 0 到 $x$ 积分得

$$S(x)-S(0)=\int_{0}^{x} S'(x)\, {\rm d}x=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+x^2}\, {\rm d}x$$

注意到 $S(0)=0$ ，有

$$S(x)-S(0)=\arctan x|_{0}^{x}=\arctan x$$

因此该级数的和函数为$S(x)=\arctan x ,x\in [-1,1]$ .

【例】 一个奇怪的技巧：

$$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^nx^{2n-1}=(-x)\sum\limits_{n=1}^\infty (-x^2)^{n-1}=-\frac{x}{1+x^2}$$

【例题】 求常数项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{3^n(2n-1)}$ 的和

【解】 构造幂级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$ ，并设幂级数的和函数为 $S(x)$ ，即

$$S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$$

由上面题目知：

$$S(x)=\arctan x , x\in [-1,1]$$

因此

$$\begin{aligned} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{3^n(2n-1)} & = \frac{1}{\sqrt{3}}\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2n-1}}{2n-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}S(\frac{1}{\sqrt{3}}) \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{\sqrt{3}}{18}\pi \\ \end{aligned}$$

函数展开成幂级数

【例题】将 $f(x)=(1+x)e^x$ 展开成 $x$ 的幂级数

【解】 由于 $f(x)=e^x+xe^x$ ，而 $e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ ，$x\in R$ ，所以

（技巧：写开） $$\begin{aligned} f(x) & = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}+x\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\ & = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +x(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots) \\ & = 1+(\frac{1}{1!}+1)x+(\frac{1}{2!}+\frac{1}{1!})x^2+(\frac{1}{3!}+\frac{1}{2!})x^3+\cdots \\ & = 1+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n+1}{n!}x^n ,\quad x\in (-\infty,\infty) \\ \end{aligned}$$

函数的幂级数展开式的应用

【例题】 试求函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty [\frac{x(x+n)}{n+1}]^n$ 的绝对收敛域

【解】 记 $u_n(x)=[\frac{x(x+n)}{n+1}]^n$ ，由于

$$u_n(x)=x^n\cdot (1+\frac{x-1}{n+1})^n$$

显然当 $|x|>1$ 时，$\lim\limits_{n\to \infty}u_n(x)=\infty$ ，故级数发散；当 $x=1$ 时，$u_n(x)=1$ ，级数发散；当 $x=-1$ 时，$u_n(x)=(-1)^n(1-\frac{2}{n+1})^n$ ，由于

$$\lim\limits_{n\to \infty}|u_n(x)|=\lim\limits_{n\to \infty}(1-\frac{2}{n+1})^n=e^{-\frac{1}{2}}\neq 0$$

因此级数发散；当 $|x|<1$ 时，由于

$$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|u_n(x)|}=\lim\limits_{n\to \infty}(|x|\cdot |1+\frac{x-1}{n+1}|)=|x|<1$$

故级数绝对收敛，从而函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty [\frac{x(x+n)}{n+1}]^n$ 的绝对收敛域为 $(-1,1)$ .

傅里叶级数

一般周期函数的傅里叶级数