欠的债，迟早是要还的。

基础部分

目录：

1 概率论的基本概念
3 概率的概念、古典概型和几何概型
6 条件概率、乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性
12 离散型随机变量及其分布律
15 随机变量的分布函数
16 连续型随机变量及概率密度
22 一维随机变量函数的分布
25 二维随机变量的相关概念
28 边缘分布和条件分布
31 相互独立的随机变量
34 多维随机变量函数的分布
41 数学期望、方差
52 协方差、相关系数
54 二维正态分布的性质
56 大数定律、中心极限定理
59 统计量的数字特征
62 抽样分布
68 点估计的方法
74 估计量的评选标准

区间估计和假设检验

资料

该部分的学习实际完成于 2025 年 5 月。

出于提高学习效率的考量，之后基于书本的学习主要以 pdf 形式进行，由于体积过大，不在博客展示。

这里我的学习资料是《概率论与数理统计》浙大版（第四版）。这是别人共享的资料，我自己的标注版本就不放出了。

对学习过的内容做一个目录：

目录
参数估计
区间估计 161
正态总体均值和方差的区间估计 163
01分布参数的区间估计 168
单侧置信区间 169
假设检验
假设检验 178
正态总体均值的假设检验 183
正态总体方差的假设检验 187
置信区间与假设检验之间的关系 192
分布拟合检验 198
假设检验问题的 p 值法 213

备注一

现在推导一下第 199 页 6.3 式中的最后一个等号：

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{n}{p_i} (\frac{f_i}{n} - p_i)^2$

首先，展开括号内的平方项：

$(\frac{f_i}{n} - p_i)^2 = (\frac{f_i}{n})^2 - 2 \cdot \frac{f_i}{n} \cdot p_i + p_i^2 = \frac{f_i^2}{n^2} - \frac{2f_ip_i}{n} + p_i^2$

然后，将展开后的项乘以 $\frac{n}{p_i}$：

$\frac{n}{p_i} \left( \frac{f_i^2}{n^2} - \frac{2f_ip_i}{n} + p_i^2 \right) = \frac{n f_i^2}{p_i n^2} - \frac{n \cdot 2f_ip_i}{p_i n} + \frac{n p_i^2}{p_i}$

简化上式：

$= \frac{f_i^2}{np_i} - 2f_i + np_i$

现在，对这个表达式从 $i=1$ 到 $k$进行求和：

$\sum_{i=1}^{k} \left( \frac{f_i^2}{np_i} - 2f_i + np_i \right) = \sum_{i=1}^{k} \frac{f_i^2}{np_i} - \sum_{i=1}^{k} 2f_i + \sum_{i=1}^{k} np_i$

我们可以将常数项从求和符号中提出来：

$= \sum_{i=1}^{k} \frac{f_i^2}{np_i} - 2 \sum_{i=1}^{k} f_i + n \sum_{i=1}^{k} p_i$

根据教材的定义，$f_i$ 是样本观测值落在子集 $A_i$ 中的个数，$n$ 是试验的总次数。因此，所有 $f_i$ 的总和等于 $n$：

$\sum_{i=1}^{k} f_i = n$

另外，$p_i = P(A_i)$ 是事件 $A_i$ 的概率。由于子集 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 是对总体 $\Omega$ 的一个划分（互不相交且其并集为 $\Omega$），所以所有这些概率的总和为 1：

$\sum_{i=1}^{k} p_i = 1$

将这两个结论代回到之前的表达式中：

$= \sum_{i=1}^{k} \frac{f_i^2}{np_i} - 2n + n(1)$ $= \sum_{i=1}^{k} \frac{f_i^2}{np_i} - 2n + n$ $= \sum_{i=1}^{k} \frac{f_i^2}{np_i} - n$

大功告成。